27-02-2019
Muziek en wiskunde hebben veel met elkaar te maken. Samenklanken (accoorden) die wij aangenaam vinden (harmonisch) voldoen aan wiskundige principes die al door Pythagoras zijn geformuleerd. Een eerste principe gaat over toonhoogtes. De toonhoogte wordt bepaald door de frequentie van een geluidsgolf (gemeten in Herz (Hz)). Neem de toonladder do-re-mi-fa-sol-la-si-do. De afstand tussen de beide “do’s” noemen we een octaaf. Pythagoras vond dat de frequentie van de tweede do het dubbele van die van de eerste do moet zijn om voor ons harmonisch te klinken. Een tweede principe gaat over de toonsafstand tussen de do en de sol. Deze toonsafstand noemen we een kwint. Volgens Pythagoras moet de frequentie van de sol 1,5x zo groot zijn als die van de do om voor ons harmonisch te klinken.
Deze twee principes leiden echter tot een probleem op een piano. Een artikel in de NRC uit 2017 (waarom een piano altijd vals klinkt) illustreerde dit. Bij een piano liggen er in een octaaf 7 witte toetsen (de do-re-…-si) en 5 zwarte toetsen (dat zijn halve tonen tussen do-re, re-mi, fa-sol, sol-la en la-si). Een beetje piano heeft een omvang van 7 octaven. Dat betekent dat de frequentie van de meest hoge do 2x2x2x2x2x2x2 keer die van de meest lage do moet zijn, ofwel 128x de frequentie van de meest lage do. Er liggen echter ook 12 kwinten tussen de meest lage en meest hoge do. Volgens Pythagoras zou de frequentie van de meest hoge do daarmee 1,5×1,5x…x1,5 die van de meest lage do moeten zijn, ofwel ongeveer 129,7x. Dus dezelfde toets op de piano (de meest hoge do) moet daarmee 2 frequenties hebben, hetgeen onmogelijk is. Dat wordt opgelost door dat verschil in frequenties zo gelijkelijk als mogelijk te verdelen over de omvang van 7 octaven.
Een piano die op een dergelijke wijze is gestemd noemen onze Oosterburen een wohltemperiertes Klavier. Deze lange inleiding is bedoeld als achtergrond voor mijn keuze voor deze week: het Wohltemperierte Klavier van Johann Sebastian Bach (1685-1750. Bach heeft twee werken met die naam gemaakt, die worden aangeduid met “boek 1” en “boek 2”. Ieder van die boeken is een verzameling van 24 preludes en fuga’s, steeds in tweetallen, ieder met een geheel eigen sfeer. Ieder boek duurt totaal ruim 2 uur en je raakt er eigenlijk nooit op uitgeluisterd. Iedere keer als je het hoort ontdek je weer wat anders. Uitstekende muziek om wat op weg te mijmeren en je erin te verliezen. Je kunt het in delen luisteren, ergens middenin beginnen, wat je maar wilt.
Nog even wat wiskunde als achtergrond. Naast octaaf en kwint is ook een terts een belangrijke toonafstand in de muziek. Een terts is bijvoorbeeld de afstand tussen de do en de mi. Deze afstand noemen we grote terts. Je kunt echter ook de toonafstand nemen tussen de do en de toon die precies tussen de re en de mi inligt (op de piano is dat de zwarte toets tussen de re en de mi). Die afstand heet een kleine terts. Muziekstukken die uitgaan van een grote terts hebben veelal een vrolijk karakter, terwijl die in kleine terts wat beschouwelijker en melancholieker klinken. Met twaalf toetsen in een octaaf geeft dat 24 verschillende toonsoorten en Bach heeft ieder van die toonsoorten gebruikt.
De uitvoering is van de pianist Sviatoslav Richter.
En wil je meer weten over de natuurkunde en de wiskunde achter muziek: lees dit Wikipedia artikel.